{"id":215,"date":"2016-10-20T18:12:31","date_gmt":"2016-10-20T16:12:31","guid":{"rendered":"http:\/\/wp.torstensense.de\/?page_id=215"},"modified":"2016-10-20T18:22:27","modified_gmt":"2016-10-20T16:22:27","slug":"fibonacci-module","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/torstensense.de\/?page_id=215","title":{"rendered":"Fibonacci"},"content":{"rendered":"<p><strong>Die Fibonacci-Folge<\/strong><\/p>\n<p>Die Fibonacci-Folge ist eine rekursiv definierte Funktion. Sie wird erkl\u00e4rt durch\u00a0f(n) = f(n-1) + f(n-2). Das heisst, man erh\u00e4lt die n\u00e4chsth\u00f6here Zahl der Reihe, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen addiert:<\/p>\n<p>0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55&#8230;&#8230;.<\/p>\n<p>Teilt man eine der Zahlen mit der vorhergehenden, erh\u00e4lt man als Ergebnis immer eine Zahl, die ungef\u00e4hr dem goldenen Schnitt entspricht: 1,6180339887. Bei zunehmender Gr\u00f6sse der Zahlen n\u00e4hert sich das Ergebnis immer mehr der &#8222;goldenen Zahl&#8220; an.<\/p>\n<p>Das Verh\u00e4ltnis des Goldenen Schnittes findet sich nicht nur in der Kunst. In der Natur gibt es zahlreiche Beispiele wie die Fibonacci-Spiralen in den Bl\u00fctenst\u00e4nden der Sonnenblumen oder der Anordnung von Bl\u00e4ttern, der sogenannten Phyllotaxis. Die Zahlenreihe war bereits in der Antike den Indern und den Griechen bekannt.<\/p>\n<p>Leonardo Fibonacci (Filius Bonacci = der Sohn des Bonacci)) wurde unter dem Namen Leonardo Pisano zwischen 1170 und 1180 geboren und lernte auf Handelsreisen alle damals bekannten Rechenverfahren kennen. Mit seinem Werk &#8222;Liber Abaci&#8220; machte er 1202 \u00a0die indische Rechenkunst in Europa bekannt und f\u00fchrte die arabische Schreibweise der Zahlen ein. Mit der nach ihm benannten Reihe beschrieb er das Wachstum einer idealisierten Kaninchenpopulation.<\/p>\n<p><strong>Die Pisano Periode<\/strong><\/p>\n<p>Joseph Louis Lagrange beschrieb bereits 1774 periodische Funktionen der Fibonacci-Folge. Nimmt man die unendliche Fibonacci-Folge <em>modulo, <\/em>erh\u00e4lt man Sequenzen, die sich wiederholen.<\/p>\n<p>Teilt man die Reihe zum Beispiel durch die Zahl 3, ergeben sich folgende unteilbare Reste:<\/p>\n<p>0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0&#8230;&#8230;..<\/p>\n<p>Nach 8 Zahlen wiederholt sich diese Reihe. Also hat die Fibonacci-Folge <em>modulo 3<\/em> die Pisano Periode \u03c0 = 8.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge ist eine rekursiv definierte Funktion. Sie wird erkl\u00e4rt durch\u00a0f(n) = f(n-1) + f(n-2). Das heisst, man erh\u00e4lt die n\u00e4chsth\u00f6here Zahl der Reihe, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55&#8230;&#8230;. Teilt man eine der Zahlen mit der vorhergehenden, erh\u00e4lt man als Ergebnis &hellip; <a href=\"https:\/\/torstensense.de\/?page_id=215\" class=\"more-link\"><span class=\"screen-reader-text\">Fibonacci<\/span> weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/full-width.php","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/215"}],"collection":[{"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=215"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/215\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":218,"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/215\/revisions\/218"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/torstensense.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=215"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}