Fibonacci

Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine rekursiv definierte Funktion. Sie wird erklärt durch f(n) = f(n-1) + f(n-2). Das heisst, man erhält die nächsthöhere Zahl der Reihe, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen addiert:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55…….

Teilt man eine der Zahlen mit der vorhergehenden, erhält man als Ergebnis immer eine Zahl, die ungefähr dem goldenen Schnitt entspricht: 1,6180339887. Bei zunehmender Grösse der Zahlen nähert sich das Ergebnis immer mehr der „goldenen Zahl“ an.

Das Verhältnis des Goldenen Schnittes findet sich nicht nur in der Kunst. In der Natur gibt es zahlreiche Beispiele wie die Fibonacci-Spiralen in den Blütenständen der Sonnenblumen oder der Anordnung von Blättern, der sogenannten Phyllotaxis. Die Zahlenreihe war bereits in der Antike den Indern und den Griechen bekannt.

Leonardo Fibonacci (Filius Bonacci = der Sohn des Bonacci)) wurde unter dem Namen Leonardo Pisano zwischen 1170 und 1180 geboren und lernte auf Handelsreisen alle damals bekannten Rechenverfahren kennen. Mit seinem Werk „Liber Abaci“ machte er 1202  die indische Rechenkunst in Europa bekannt und führte die arabische Schreibweise der Zahlen ein. Mit der nach ihm benannten Reihe beschrieb er das Wachstum einer idealisierten Kaninchenpopulation.

Die Pisano Periode

Joseph Louis Lagrange beschrieb bereits 1774 periodische Funktionen der Fibonacci-Folge. Nimmt man die unendliche Fibonacci-Folge modulo, erhält man Sequenzen, die sich wiederholen.

Teilt man die Reihe zum Beispiel durch die Zahl 3, ergeben sich folgende unteilbare Reste:

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0……..

Nach 8 Zahlen wiederholt sich diese Reihe. Also hat die Fibonacci-Folge modulo 3 die Pisano Periode π = 8.

 

 

 

Musik aus Fibonacci-Modulen